Es gibt über 350 bekannte Beweise für den Satz des Pythagoras. Einer davon stammt von einem amerikanischen Präsidenten.
James A. Garfield veröffentlichte ihn 1876, damals noch Abgeordneter im Repräsentantenhaus. Fünf Jahre später wurde er Präsident der Vereinigten Staaten — und ein halbes Jahr darauf erschossen. Der Beweis überlebte ihn.
Er entstand angeblich im Plausch
Garfield soll ihn beim Herumspielen mit anderen Kongressabgeordneten gefunden haben. Er selbst nannte es etwas, worauf sich Mitglieder beider Parteien einigen könnten.
Seine Idee: Nimm nur die Hälfte. Statt vier Dreiecken in einem Quadrat genügen zwei in einem Trapez.
Die Figur
Lege zwei Kopien des Dreiecks nebeneinander, eine davon gekippt. Verbinde die offenen Enden. Es entsteht ein Trapez — und darin steckt ein drittes Dreieck, das ebenfalls rechtwinklig ist, mit zwei Seiten der Länge c.
Die Rechnung — einmal von außen, einmal von innen
Die Fläche des Trapezes lässt sich auf zwei Wegen bestimmen.
Als Trapez: Mittelwert der beiden parallelen Seiten mal Höhe.
(a + b) / 2 · (a + b)
Als Summe der drei Dreiecke: zweimal das halbe Rechteck a·b, plus das halbe Quadrat über c.
2 · (a·b / 2) + c² / 2
Beide beschreiben dieselbe Fläche. Setzt man sie gleich, multipliziert alles mit 2 und löst die Klammer auf, bleibt nach dem Streichen von 2ab auf beiden Seiten genau ein Satz stehen:
a² + b² = c²
Garfield
Zählt nicht — nur zum Prüfen, ob es angekommen ist.
1.Was ist der Kniff an Garfields Beweis?
2.Wie viele Dreiecke braucht Garfield im Vergleich zum Umlege-Beweis?