Zum Schluss der Trick, mit dem der Satz aus der Fläche heraustritt.
Passt eine 3 m lange Leiste in einen Transporter, der innen 2,5 m lang, 1,5 m breit und 1,4 m hoch ist? Die Bodendiagonale allein reicht nicht — schräg durch den Raum ist es noch weiter.
Zweimal anwenden
Erst der Boden. Länge und Breite sind Katheten:
d² = 2,5² + 1,5² = 6,25 + 2,25 = 8,5
Die Bodendiagonale ist √8,5 ≈ 2,92 m.
Dann die Höhe. Jetzt ist die Bodendiagonale die eine Kathete und die Höhe die andere:
r² = 8,5 + 1,4² = 8,5 + 1,96 = 10,46
Die Raumdiagonale ist √10,46 ≈ 3,23 m.
Die Leiste passt — allerdings nur diagonal durch den ganzen Laderaum gelegt.
Die Kurzformel
Man muss nicht zweimal die Wurzel ziehen. Setzt man die erste Rechnung in die zweite ein, bleibt stehen:
r² = l² + b² + h²
Alle drei Kantenlängen quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Der Satz des Pythagoras gilt im Raum genauso — man wendet ihn nur zweimal an.
Und es hört hier nicht auf: In vier Dimensionen kommt einfach ein weiteres Quadrat dazu. Physiker und Datenwissenschaftler rechnen so mit Abständen in Räumen, die niemand sich vorstellen kann.
Wo er nicht mehr gilt
Zwei Grenzen sind wichtig.
Ohne rechten Winkel geht nichts. Bei einem beliebigen Dreieck ist die Formel schlicht falsch. Dafür gibt es den Kosinussatz, der einen Korrekturterm anhängt — und für 90° genau in den Satz des Pythagoras zusammenfällt.
Auf gekrümmten Flächen geht es auch nicht. Auf einer Kugel — etwa der Erdoberfläche — stimmt er nicht mehr. Bei einem Zimmer merkt man davon nichts. Bei einem Flug von Zürich nach New York schon: Deshalb fliegen Flugzeuge Bögen, die auf der flachen Karte wie Umwege aussehen.
In den Raum
Zählt nicht — nur zum Prüfen, ob es angekommen ist.
1.Ein Karton ist 3 × 4 × 12 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale?
2.Warum gilt der Satz auf der Erdoberfläche nicht?