Tripel muss man nicht suchen. Man kann sie herstellen â beliebig viele, mit einer Formel, die schon Euklid kannte.
Das Rezept
Nimm zwei ganze Zahlen m und n, wobei m grĂśĂer als n ist. Dann bilde:
a = m² â n² b = 2 ¡ m ¡ n c = m² + n²
Diese drei bilden immer ein pythagoreisches Tripel. Immer.
Probe mit m = 2, n = 1:
| Rechnung | Wert | |
|---|---|---|
| a | 4 â 1 | 3 |
| b | 2 ¡ 2 ¡ 1 | 4 |
| c | 4 + 1 | 5 |
Das berĂźhmteste Tripel Ăźberhaupt, aus den beiden kleinstmĂśglichen Zahlen.
Weitermachen
| m | n | a = m²ân² | b = 2mn | c = m²+n² |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
Die ganze Tabelle aus der letzten Lektion â erzeugt aus sechs Zahlenpaaren. Und die Liste hĂśrt nie auf: Es gibt unendlich viele pythagoreische Tripel.
Und mit hĂśheren Potenzen?
a² + b² = c² hat unendlich viele LÜsungen in ganzen Zahlen. Was ist mit a³ + b³ = c³? Oder aⴠ+ bⴠ= c�
Pierre de Fermat notierte um 1637 an den Rand eines Buches, es gebe keine einzige â und er habe einen wunderbaren Beweis, fĂźr den der Rand zu schmal sei.
Der Beweis blieb verschwunden. 358 Jahre lang scheiterten Mathematiker an dem Satz, bis Andrew Wiles ihn 1995 auf Ăźber hundert Seiten fĂźhrte, mit Mitteln, die es zu Fermats Zeit nicht gab.
Die Quadrate sind also ein Sonderfall â und ausgerechnet der eine, der funktioniert.
Tripel bauen
Zählt nicht â nur zum PrĂźfen, ob es angekommen ist.
1.Welches Tripel entsteht aus m = 3 und n = 1?
2.Wie viele pythagoreische Tripel gibt es?