Bisher waren die beiden Katheten bekannt und die Hypotenuse gesucht. In der Praxis ist es oft umgekehrt: Du kennst die lange Seite und eine kurze — und suchst die andere.
Die Leiter ist 5 m lang und steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Die Formel umstellen
Aus
a² + b² = c²
wird durch Abziehen von b² auf beiden Seiten
a² = c² − b²
Aus einem Plus wird ein Minus. Das ist die ganze Änderung.
Das Rezept bleibt dreischrittig, nur der mittlere Schritt dreht sich um:
- Quadrieren — die bekannte Hypotenuse und die bekannte Kathete.
- Subtrahieren — die Kathete von der Hypotenuse. In dieser Reihenfolge.
- Wurzel ziehen.
Die Leiter
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| c² | 5 · 5 | 25 |
| b² | 1,5 · 1,5 | 2,25 |
| a² = c² − b² | 25 − 2,25 | 22,75 |
| a = √22,75 | ≈ 4,77 m |
Die Leiter reicht also knapp 4,77 Meter hoch.
Die Reihenfolge ist nicht egal
Beim Addieren war es gleichgültig, womit man anfängt. Beim Subtrahieren nicht.
Immer c² minus Kathete² — nie umgekehrt. Wer 2,25 − 25 rechnet, bekommt −22,75, und aus einer negativen Zahl lässt sich keine Länge ziehen.
Wenn dir das passiert, ist das übrigens ein nützliches Signal: Du hast die Hypotenuse verwechselt.
Rückwärts
Zählt nicht — nur zum Prüfen, ob es angekommen ist.
1.Hypotenuse 13, eine Kathete 5. Wie lang ist die andere?
2.Was ist an a² = c² − b² anders als an a² + b² = c²?