Thévenin und der Impedanzwandler

Worum es geht: Ein Werkzeug, mit dem sich jede Schaltung aus Quellen und Widerständen auf zwei Zahlen eindampfen lässt — und der Operationsverstärker, der ihre unangenehme Folge aufhebt.

Wozu du das brauchst: Im Grundkurs hast du gesehen, dass ein belasteter Spannungsteiler einbricht. Hier lernst du, um wie viel — auch dann noch, wenn drei Widerstände und zwei Quellen im Spiel sind. Das ist der Unterschied zwischen Ausprobieren und Auslegen.

Danach kannst du: einen Teiler so dimensionieren, dass die Last ihn nicht verfälscht, und entscheiden, wann stattdessen ein Impedanzwandler nötig ist.

Erst aufräumen, dann rechnen

Im Grundkurs gab es zwei Regeln für Parallelschaltungen und den ehrlichen Hinweis, dass für mehr als zwei Widerstände eine Formel nötig wird. Hier ist sie:

Zuerst die Kehrwerte addieren, dann am Ende noch einmal den Kehrwert nehmen. Genau dieser letzte Schritt wird am häufigsten vergessen. Für 1 kΩ, 2.2 kΩ und 4.7 kΩ parallel:

Zwei Kontrollen, die dich vor Rechenfehlern bewahren: Das Ergebnis ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand, und es ist selten viel kleiner, wenn ein Widerstand deutlich niederohmiger ist als die übrigen.

Thévenin: jede Schaltung ist eine Batterie

Das eigentliche Werkzeug dieser Lektion ist ein Satz, der zunächst zu gut klingt, um wahr zu sein:

Egal wie verzweigt es dahinter aussieht — von aussen ist es eine Batterie mit Innenwiderstand, also genau das Modell aus der letzten Lektion. Zwei Zahlen beschreiben sie vollständig:

• Uth — was an den offenen Klemmen anliegt, wenn nichts angeschlossen ist. Die Leerlaufspannung.
• Rth — der Widerstand, den man von den Klemmen aus sieht, wenn man jede Quelle durch einen Draht ersetzt.

Der zweite Schritt ist der ungewohnte. Eine ideale Spannungsquelle hat keinen Widerstand, also wird sie beim Hineinschauen zum Kurzschluss. Für einen Spannungsteiler heisst das: von der Abgriffsklemme aus liegen R₁ (über die kurzgeschlossene Quelle) und R₂ parallel.

Links der Teiler aus zweimal 10 kΩ an 5 V, an dessen Abgriff eine Last von 10 kΩ hängt. Rechts dasselbe als Ersatzquelle: 2.5 V in Reihe mit 5 kΩ, daran dieselbe Last. Das Zeichen dazwischen ist kein Gleichheitszeichen, sondern ein Äquivalenzzeichen — die beiden Schaltungen sind nicht dasselbe, sie sind an diesen Klemmen nur nicht unterscheidbar.

Und damit ist die Last kein Sonderfall mehr, sondern eine simple Reihenschaltung:

Mehrere Quellen: einzeln rechnen, dann addieren

Wenn zwei Quellen auf denselben Knoten wirken, muss man kein Gleichungssystem aufstellen. Es genügt die Überlagerung: jede Quelle für sich betrachten, die anderen durch einen Draht ersetzen, und die Ergebnisse addieren.

Ein Knoten, an dem 3.3 V über 10 kΩ und 0 V über 20 kΩ ziehen:

• Nur die 3.3-V-Quelle: Teiler 10 kΩ / 20 kΩ → 3.3 V · 20/30 = 2.2 V
• Nur die zweite Quelle: sie ist 0 V, trägt also nichts bei
• Summe: 2.2 V

Das ist bewusst ein einfaches Beispiel. Sobald es aufwendiger wird als das, ist der Punkt erreicht, an dem man ein Simulationswerkzeug nimmt statt eines Bleistifts.

Rth ist die Zahl, die über Genauigkeit entscheidet

An einem Teiler aus zweimal 100 kΩ an 3.3 V ist Uth = 1.65 V und Rth = 50 kΩ. Was daraus wird, hängt allein davon ab, was man anschliesst:

Mit demselben Teiler aus zweimal 1 kΩ wäre Rth nur 500 Ω, und an 1 MΩ blieben 1.649 V übrig — eine Abweichung von 0.05 %, also hundertmal weniger.

Der Preis steht auf der anderen Seite der Rechnung: Ein Teiler zieht dauernd Strom, auch wenn niemand hinsieht.

Bei Netzbetrieb ist das gleichgültig. Bei Batteriebetrieb ist es der Unterschied zwischen Wochen und Jahren, und Modul 10 rechnet ihn aus.

Die Faustregel, die beides zusammenfasst: Rth soll mindestens zehnmal kleiner sein als die Last. Dann bleibt der Fehler unter 10 %; für hundertmal kleiner unter 1 %.

Wenn beides nicht geht

Manchmal willst du einen hochohmigen Teiler und eine Last, die Strom zieht. Die beiden Forderungen widersprechen sich — bis man ein Bauteil dazwischensetzt, das die Spannung abliest, ohne dabei Strom zu entnehmen, und sie auf der anderen Seite neu erzeugt.

Der Teiler aus zweimal 100 kΩ liefert 1.65 V bei einem Ersatzwiderstand von 50 kΩ. Sein Abgriff geht auf den Eingang eines Operationsverstärkers, gezeichnet als Dreieck mit der Spitze nach rechts. Vom Ausgang führt eine Leitung unmittelbar auf den zweiten Eingang zurück; rechts hängt die 10-kΩ-Last.

Diese Schaltung heisst Spannungsfolger oder Impedanzwandler, und sie tut genau eines: Die Spannung bleibt, der Innenwiderstand verschwindet.

Der Verstärker zieht an seinem Eingang fast keinen Strom, belastet den Teiler also nicht. Den Strom für die Last holt er sich aus seiner eigenen Versorgung. Genau darin liegt der Trick: Spannung und Strom kommen nicht mehr aus derselben Quelle.