Worum es geht: Wie schnell sich eine Spannung ändern darf, wenn ein Widerstand und ein Kondensator im Weg stehen. Das Mass dafür heisst Zeitkonstante, τ = R · C.
Wozu du das brauchst: Nicht, um Zeit zu messen — dafür hat dein Controller einen Quarz und Zähler, die um Grössenordnungen genauer sind. Sondern um Änderungen gezielt zu bremsen: Was schneller passiert als τ, kommt nicht durch. Genau darauf beruhen der Störfilter, der Entpreller, die Glättung eines PWM-Signals (Modul 9) und die Umschaltzeit an einem MOSFET-Gate (Modul 5) — vier Bauteile weniger, wenn man eine Formel versteht.
Danach kannst du: ausrechnen, wie lange eine Spannung braucht, um eine Schwelle zu erreichen — und umgekehrt ein Widerstand-Kondensator-Paar (in der Literatur meist RC-Glied) so auslegen, dass es genau die Trägheit hat, die du brauchst.
Ein Widerstand bestimmt, wie schnell der Kondensator folgen darf
Aus Modul 2 weisst du: Die Spannung an einem Kondensator springt nicht, weil erst Ladung fliessen muss. Stell jetzt einen Widerstand davor, und du hast festgelegt, wie schnell diese Ladung fliessen darf.
Damit hast du der Schaltung eine Trägheit gegeben — und zwar eine berechenbare. Das ist der eigentliche Ertrag dieser Lektion: nicht eine Zeit zu erzeugen, sondern eine Änderungsgeschwindigkeit zu begrenzen.
Der Umschalter legt den gemeinsamen Anschluss wahlweise an 3.3 V oder an Masse. Von dort geht es über den Widerstand von 10 kΩ auf einen Knoten, an dem der Kondensator von 100 nF gegen Masse hängt; am selben Knoten sitzt der Messpunkt. In der oberen Stellung lädt sich der Kondensator, in der unteren entlädt er sich — beide Male über denselben Widerstand.
Diese Zusammenstellung aus einem Widerstand und einem Kondensator heisst in diesem Kurs Widerstand-Kondensator-Paar. In Datenblättern und Büchern findest du sie fast immer als RC-Glied — ein Name, der nichts verrät, ausser dass ein R und ein C beteiligt sind.
Das Produkt aus beiden Werten heisst Zeitkonstante und bekommt den griechischen Buchstaben τ (tau):
τ = R · C = 10 kΩ · 100 nF = 1 ms
Die Einheiten gehen glatt auf: Ohm mal Farad ergibt Sekunden. Und ein Wert, den du dir merken solltest, weil er ständig vorkommt: 10 kΩ mit 100 nF sind genau 1 ms. Von dort rechnest du alles andere im Kopf hoch und runter.
| R | C | τ |
|---|---|---|
| 10 kΩ | 100 nF | 1 ms |
| 10 kΩ | 1 µF | 10 ms |
| 4.7 kΩ | 10 µF | 47 ms |
Beachte, was nicht in der Formel steht: die Spannung. Ob du einen Kondensator auf 3.3 V oder auf 24 V lädst, ändert an τ nichts. Die Kurve ist dieselbe, nur höher.
Die amberne Kurve ist das Laden. Sie steigt zuerst steil und wird dann immer flacher — nach einer Zeitkonstante steht sie bei 63 %, nach drei bei 95 %, nach fünf bei 99 %. Die blasse Kurve darüber ist das Entladen, dasselbe Bild auf den Kopf gestellt: nach einer Zeitkonstante sind noch 37 % übrig.
Der Grund für die Krümmung ist einfach. Am Anfang ist die Spannungsdifferenz über dem Widerstand gross, also fliesst viel Strom, also geht es schnell. Je voller der Kondensator, desto kleiner die Differenz, desto weniger Strom, desto langsamer. Der Vorgang bremst sich selbst.
Streng genommen wird der Kondensator deshalb nie ganz voll. Praktisch ist er nach 5 τ voll — 0.7 % Restfehler misst ohnehin niemand.
Die Prozente in Volt
Bei 3.3 V Endspannung und τ = 1 ms:
| nach | Anteil | Spannung |
|---|---|---|
| 1 τ = 1 ms | 63.2 % | 2.09 V |
| 3 τ = 3 ms | 95.0 % | 3.14 V |
| 5 τ = 5 ms | 99.3 % | 3.28 V |
Beim Entladen von 3.3 V aus sind nach 1 τ noch 36.8 % übrig, also 1.21 V.
Die Rechnung, die du wirklich brauchst
In der Praxis fragst du selten «wo steht die Spannung nach 3 ms». Du fragst: wann erreicht sie die Schwelle? Dafür stellst du die Formel um:
t = −τ · ln(1 − U(ziel) / U(end))
Beispiel: Wann überschreitet der Knoten die High-Schwelle eines 3.3-V-Eingangs, also rund 70 % der Versorgung?
t = −1 ms · ln(1 − 0.7) = −1 ms · ln(0.3) = 1.20 ms
Und beim Entladen, bis er wieder unter 70 % fällt:
t = −1 ms · ln(0.7) = 0.357 ms
Diese zwei Zeilen sind das Werkzeug für alles, was in Modul 7 beim Entprellen und in Modul 9 beim Glätten noch kommt.
Damit misst man keine Zeit
Es liegt nahe, aus τ eine Uhr bauen zu wollen. Tu es nicht — und der Grund steht in den Datenblättern deiner beiden Bauteile.
Ein Widerstand mit ±1 % und ein Kondensator mit ±10 % ergeben zusammen eine Zeitkonstante, die im ungünstigsten Fall um 11.1 % danebenliegt. Dazu kommt der Temperaturgang, und bei einem X7R-Keramikkondensator die Abhängigkeit von der anliegenden Gleichspannung aus Modul 2, die den Wert halbieren kann.
Der Quarz auf deinem Board liegt bei ±20 ppm, also 0.002 %. Das ist rund 5500-mal genauer, kostet nichts extra und ist ohnehin schon verbaut.
Für Zeitmessung nimmst du den Zähler im Controller. Ein Widerstand-Kondensator-Paar nimmst du, um etwas zu bremsen — und wie ungenau es dabei ist, spielt keine Rolle, solange die Trägheit deutlich grösser ist als das, was du loswerden willst.
Warum ausgerechnet 63 %
Die 63 % sind kein gewählter Wert, sondern fallen aus der Rechnung heraus: 1 − 1/e = 0.632…, wobei e die eulersche Zahl 2.718… ist.
Sie taucht auf, weil sich der Vorgang selbst bremst — die Geschwindigkeit ist immer proportional zum verbleibenden Rest. Genau dasselbe Gesetz beschreibt radioaktiven Zerfall und einen abkühlenden Kaffee. Der Kondensator ist nur der Fall davon, den du löten kannst.
Kurze Selbstkontrolle
Zählt nicht — nur zum Prüfen, ob es angekommen ist.
1.Ein Widerstand-Kondensator-Paar aus 10 kΩ und 1 µF lädt sich an 3.3 V. Wie lange dauert es, bis der Kondensator praktisch voll ist?
2.Ein Widerstand-Kondensator-Paar mit τ = 1 ms lädt an 3.3 V. Nach 1 ms misst du 2.09 V. Was misst du nach 1 ms, wenn du dieselbe Schaltung an 5 V betreibst?